地图区域的边界点按不同方向走一圈，带符号面积会改变正负，但实际覆盖面积不会因此变成负数。用一个矩形挖去上边凹口的例子，可以同时核对边界公式和直观分块。

本篇使用一组可以手算或逐行复查的虚构游戏记录。先读清操作顺序与边界，再看完整过程；它不是某一款现有游戏的隐藏公式，也不要求读者安装工具。

规则与输入

坐标横向右、纵向上，八个顶点组成没有自交的凹多边形。按给定顺序将相邻点的横纵交叉乘积作差并求和，最后除二得到带符号面积；最后一点必须接回第一点。另比较倒序顶点。

八组外框上边带矩形凹口的独立边界，均包含闭合的最后一条边。

逐步计算与结果

第1组外框6×6，凹口宽2、深2，平移[-6, 5]，顶点[[-6, 5], [0, 5], [0, 11], [-2, 11], [-2, 9], [-4, 9], [-4, 11], [-6, 11]]。逐边交叉差[-30, 0, 22, 4, 18, -8, 22, 36]，合计64，带符号面积32，倒序为-32，实际面积32。

第2组外框8×7，凹口宽1、深3，平移[-6, -4]，顶点[[-6, -4], [2, -4], [2, 3], [-2, 3], [-2, 0], [-3, 0], [-3, 3], [-6, 3]]。逐边交叉差[32, 14, 12, 6, 0, -9, 9, 42]，合计106，带符号面积53，倒序为-53，实际面积53。

第3组外框13×10，凹口宽1、深4，平移[-4, 9]，顶点[[-4, 9], [9, 9], [9, 19], [5, 19], [5, 15], [4, 15], [4, 19], [-4, 19]]。逐边交叉差[-117, 90, 76, -20, 15, 16, 152, 40]，合计252，带符号面积126，倒序为-126，实际面积126。

第4组外框8×11，凹口宽2、深9，平移[5, 0]，顶点[[5, 11], [10, 11], [10, 2], [12, 2], [12, 11], [13, 11], [13, 0], [5, 0]]。逐边交叉差[-55, -90, -4, 108, -11, -143, 0, 55]，合计-140，带符号面积-70，倒序为70，实际面积70。

第5组外框7×6，凹口宽3、深4，平移[-1, 8]，顶点[[-1, 8], [6, 8], [6, 14], [5, 14], [5, 10], [2, 10], [2, 14], [-1, 14]]。逐边交叉差[-56, 36, 14, -20, 30, 8, 42, 6]，合计60，带符号面积30，倒序为-30，实际面积30。

第6组外框10×10，凹口宽2、深3，平移[-1, -1]，顶点[[-1, 9], [5, 9], [5, 6], [7, 6], [7, 9], [9, 9], [9, -1], [-1, -1]]。逐边交叉差[-54, -15, -12, 21, -18, -90, -10, -10]，合计-188，带符号面积-94，倒序为94，实际面积94。

第7组外框12×6，凹口宽2、深2，平移[7, 6]，顶点[[7, 6], [19, 6], [19, 12], [17, 12], [17, 10], [15, 10], [15, 12], [7, 12]]。逐边交叉差[-72, 114, 24, -34, 20, 30, 96, -42]，合计136，带符号面积68，倒序为-68，实际面积68。

第8组外框7×6，凹口宽4、深5，平移[0, -3]，顶点[[0, 3], [2, 3], [2, -2], [6, -2], [6, 3], [7, 3], [7, -3], [0, -3]]。逐边交叉差[-6, -10, 8, 30, -3, -42, -21, 0]，合计-44，带符号面积-22，倒序为22，实际面积22。

逐组用外框减凹口核验绝对面积，正负只随绕行方向变化，平移不增加或减少覆盖。

怎样独立复核

不使用边界求和，直接用外矩形面积减去凹口矩形面积，应该等于带符号面积绝对值。倒序只改变符号，平移全部点不改变面积；这些是本例的独立交叉检查。

很多图像坐标的纵轴向下，视觉顺逆时针的解释会反过来，应先说明坐标约定。自交边界需要额外定义填充规则，不能直接拿这里的绝对值当作任何复杂路径的覆盖面积。

练习时可以只改变一个输入，再预测哪一步会最先改变。保留中间记录，检查空状态、相等数值和刚好落在边界的情况。最终结果碰巧相同，并不能证明两个过程等价；反过来，采用不同规则得出不同结果，也不应立即视作程序故障。